• Główna
• MS Office
• Ekonometria
• Etyka
• ISZ pytania
• ISZ wykład 1
• ISZ wykład 3
• ISZ wykład 4
• ISZ wykład 5
• ISZ wykład 6
• ISZ wykład 7
• ISZ wykład 8
• ISZ wykład 9
• ISZ wykład 10
• ISZ wykład 11
• KH
• Makroekonomia
• Statystyka

Ekonometria

[ostatnia aktualizacja 2006.12.11 18:23:28 ]

Ekonometria, Rodzaje zmiennych

• zmienne objaśniane - zmienne stojące po lewej stronie znaku równości
• zmienne objaśniające - zmienne stojące po prawej stronie zanku równości

• zmienne endogeniczne - zmienne objaśniane oraz ich opóźnienia (jeżeli zmienna powtarza się po prawej stronie a była już po lewej znaku równości to wówczas jest endogeniczna i liczy się ją jako jedną - wyjątek - zmienna objaśniająca jest zmienną endogeniczną)
• zmienne egzogeniczne - wszystkie nie endogeniczne

• zmienne bieżące - zwyczajne zmienne nie przesunięte w czasie
• zmienne opóźnione - zmienne z przesuniętym czasem

zmienne z góry określone - egzogeniczne i endogeniczne opóźnione

Wyznacznik macierzy A = [a_ij] to det(A)

1. gdy macierz A ma stopień n = 1, to:
   det A = a₁₁
2. jeżeli macierz ma stopień n ≥ 2, to:
   det A = (-1)¹⁺¹ a₁₁ det A₁₁ + (-1)¹⁺² a₁₂ det A₁₂ + ... + (-1)¹⁺ⁿ a_1n det A_1n
   gdzie A_ij oznacza macierz stopnia n-1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

WŁAŚCIWOŚCI (tutaj można wyłowić operacje elementarne na macierzach)

1. wyznacznik macierzy mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest równy 0
2. wyznacznik zmieni znak jeżeli przestawimy między sobą dwie (dwa) kolumny (wiersze)
3. wyznacznik macierz mającej dwie (dwa) jednakowe kolumny (wiersze) jest równy 0
4. jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy
5. wyznacznik macierzy, której elementy pewnej kolumny (wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy, w któreych elementy tej kolumny (wiersza) są zastąpione tymi składnikami
6. wyznacznik nie zmieni się jeżeli do dowolnej kolumy (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę
7. wyznacznik macierzy i jej transpozycji są sobie równe
8. dla macierzy dolno (górno) trójkątnej wyznacznikiem jest iloczyn elementów z przekątnej diagonalnej

MACIERZ ODWROTNA

Niech A będzie macirzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotnądo macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A^-1, która spełnia warunek:A A-1 = A-1 A = In Macierz osobliwa: det A = 0
Macierz nieosobliwa: det A ≠ 0
A-1 = ( 1 ÷ det A ) × [ ... Dij ... ]T
Dij = (-1)i+j det Aij
Aij - macierz powstająca przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumy

WŁAŚCIWOŚCI OPERACJI NA MACIERZACH

Niech macierze A i B tęgo samego stopnia będą odwracalne oraz niech α ∈ C \ {0}, n ∈ NWtedy macierze A^-1, A^T, AB, αA, Aⁿ także są odwracalne i prawdziwe są równości:

1. det(A^-1) = (det A)^-1
2. (A ^-1)^-1 = A
3. (A^T)^-1 = (A^-1)^T
4. (AB)^-1 = B^-1 A^-1
5. (αA)^-1 = (1 ÷ α) (A^-1)
6. (Aⁿ)^-1 = (A^-1)ⁿ

RZĄD MACIERZY

(znacznie upraszczająć)
rząd macierzy jest to najwyższy stopień niezerowego minora znaleziony w macierzy

minor - jest to wyznacznik odnalezionej poprzez skreślanie wierszy i kolumn macierzy kwadratowej
na rząd macierzy nie mają wpływu operacje elementarne

LINIOWA ZALEŻNOŚĆ

jeżeli mamy doczynienia ze zbiorem wektorów v₁, v₂, ...v_n to mówimy że są one liniowo zależne jeżeli isteniją współczynniki α₁, α₂, ... α_n ∈ R nie wszystkie równe 0, takie że: α1 × v1 + α2 × v2 + ... + αn × vn = 0

KOMBINACJA LINIOWA

α1 × v1 + α2 × v2 + ... + αn × vn

BAZA PRZESTRZENI

Bazą przestrzeni liniowej V nazywamy zbiór B wektorów z tej przestrzeni spełniający warunki:

1. jest liniowe niezależny
   ∀(α₁,α₂,...,α_n∈R) α₁×v₁ + α₂×v₂ + ... + α_n×v_n = 0 ∴ α₁ = α₂ = ... = α_n
2. generuje przestrzeń V tzn LIN B = V
   ∀(v∈V) ∃(β₁,β₂,...,β_n∈R) ∴ v = β₁×v₁ + β₂×v₂ + ... + β_n×v_n

DODAWANIE MACIERZY

Niech A = [a_ij] i B = [b_ij] będą macierzami o wymiarach m × n. Sumą, różnicą tych macirzy nazywamy macierz C = [c_ij], której elementy są określane wzorami: c_ij = a_ij ± b_ij

ILOCZYN MACIERZY PRZEZ SKALAR

Niech A = [a_ij] będzie macierzą o wymiarach m × n i niech α będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Iloczynem macirzy A przez liczbę α nazywamy macierz B = [b_ij], której elementy określone są wzorem: b_ij = αa_ij

WłASNOŚCI

A, B, C - dowolne macierze rzeczywiste lub zespolone tego samego wymiaru, α β dowolne liczby rzeczywiste lub zespolone

1. A + B = B + A (przemienność)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (łączność)
3. A + 0 = 0 + A = A (istnienie elementu zerowego)
4. A + (-A) = 0 (istnienie elementu przeciwnego)
5. α(A + B) = αA + αB (rozdzielność iloczynu przez skalar względem dodawania macierzy)
6. (α + β)A = αA + βA (to już chyba oczywiste)
7. 1 × A = A (istnienie elementu neutralnego)
8. (αβ)A = α(βA)

ILOCZYN MACIERZY PRZEZ MACIERZ

Niech A = [a_ij] ma wymiar m × n oraz B = [b_ij] ma wymiar n × k. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [c_ij] wymiaru m × k której elementy określone są wzorem:
C_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_inb_nj
dla 1 ≤ i ≤ oraz 1 ≤ j ≤ k. Piszemy wtedy C = AB

WłASNOŚCI

1. Niech macierz A ma wymiar m × n, a macierze B i C wymiar n × k. Wtedy
   A(B + C) = AB + AC
2. Niech macierze A, B mają wymiar m × n, a macierz C wymiar n × k. Wtedy
   (A + B)C = AC + BC
3. Niech macierz A ma wymiar m × n, a macierz B wymiar n × k oraz niech α będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Wtedy
   A(αB) = (αA)B = α(AB)
4. Niech macierz A ma wymiar m × n, macierz B ma wymiar n × k, a macierz C wymiar k × l. Wtedy
   (AB)C = A(BC)
5. Niech macierz A ma wymiar m × n. Wtedy
   AI_n = I_mA = A
   gdzie I_k jest macierzą jednostkową stopnia n (macierz kwadratowa, w której wszystkie niezerowe elementy (wszystkie równe 1) znajdują się na głównej przekątnej - nazywamy ją również macierzą diagonalną

MACIERZ TRANSPONOWANA

Niech A = [a_ij będzie macierzą wymiaru m × n. Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B = [b_ij wymiaru n × m określoną wzorem:
b_ij = a_ji
dla 1 ≤ i ≤ n oraz 1 ≤ j ≤ m. Macierz transponowaną do macierzy A oznaczmay przez A^T
Uwaga wiersze zamieniamy na kolumny

WŁAŚCIWOŚCI

1. Niech A i B będą macierzami wymiaru m × n. Wtedy
   (A + B)^T = A^T + B^T
2. Niech A będzie macierzą wymiaru m × n oraz niech α będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Wtedy
   (A^T)^T = A oraz (αA)^T = αA^T
3. Niech A będzie macirzą wymiaru m × n, a B macierzą wymiaru n × k. Wtedy
   (AB)^T = B^T A^T
4. Niech A będzie macirzą kwadratową oraz niech r ∈ N. Wtedy
   (A^r)^T = (A^T)^r

Definicje

1. Macierz A jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
   A^T = A
2. Macierz A jest antysymentryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
   A^T = -A

WŁAŚCIWOŚCI

1. Niech A będzie dowolną macirzą kwadratową. Wtedy
   • macierz A + A^T jest symetryczna
   • macierz A - A^T jest antysymetryczna
2. Niech A będzie dowoną macirzą. Wtedy macirze AA^T i A^TA są symetryczne.
3. Każdą macierz kwadratową moża jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysymetrycznej
   A = 0.5 (A + A^T) + 0.5 (A - A^T)
4. Macierz jest symetryczna, gdy elementy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są sobie równe
5. Macierz jest antysymentryczna, gdy jej elementy położone symetrycznie względem głównej przekątnej różnią się tylko znakiem, a elementy głównej przekątnej są równe 0

---

Komentarze internautów

---

dodaj własny komentarz